Question

15．如图，等边△ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边△DEF，连接CF，AF．
（1）求证：FE=FC；
（2）当∠DAF=90°，CE=1时，求等边△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CD，根据等腰三角形的性质得到CD平分∠ACB，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，于是得到∠DCE=30°=$\frac{1}{2}$∠DFE，证得F为△CDE外接圆圆心，即可得到结论；
（2）如图2，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，借助于平行线分线段成比例定理和全等三角形的判定和性质进行分析求解即可．

解答 （1）证明：如图1，连接CD，
∵D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，
∴∠DCE=30°=$\frac{1}{2}$∠DFE，
∴F为△CDE外接圆圆心，
∴FE=FC；

（2）解：如图2，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE=180°，∠BED+60°+∠BDE=180°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BED}\\{∠DAD=∠DHE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D为AB中点，DH∥AI，
∴BH=$\frac{1}{2}$BI=$\frac{1}{4}$BC，
BC=CE+HE+BH=1+$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{4}$BC，
∴BC=4，
即等边△ABC的边长为4．

点评 该题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解答的关键．