Question

13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），平行于y轴的直线x=2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
【平行班】
（3）当S_△ABP=4时，以PB为直角边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．
【双语班，实验班】
（4）当S_△ABP=S_△BPC时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入直线AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x=0，求得y的值，即可求得A的坐标；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即可求得；
（3）当S_△ABP=4时，n-1=2，解得n=3，分两种情况：①以P为直角顶点，②以B为直角项点，证明△CNP≌△BEP，根据三角形全等的性质可得点C的坐标；
（4）根据S_△ABP=S_△BPC列式求出n的值，同（3）可依次求出C的坐标．

解答 解：（1）∵直线AB：y=kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0=3k+1，
∴k=-$\frac{1}{3}$，
直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1．
当x=0时，y=1，
∴点A（0，1）；

（2）如图1、过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=2，
∵x=2时，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$，
∵P在点D的上方，
∴PD=n-$\frac{1}{3}$，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AM•PD=$\frac{1}{2}$×2×（n-$\frac{1}{3}$）=n-$\frac{1}{3}$；
由点B（3，0），可知点B到直线x=2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}×$1×（n-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{3}$），
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$；

（3）当S_△ABP=4时，$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$=4，解得n=3，
∴点P（2，3）．
∵E（2，0），
∴PE=3，BE=1，
①如图2，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=2于点N．
则△CNP≌△BEP，
∴PN=EB=1，CN=PE=3，
∴NE=NP+PE=1+3=4，
∴C（5，4）；
②如图3、∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
同理可得△CBF≌△PBE．
∴BF=PE=3，CF=BE=1，
∴OF=OB+BF=3+3=6，
∴C（6，1），
综上所述，以PB为直角边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，4）或（6，1）；
（4）如图2，在Rt△BPE中，∵P（2，n），B（3，0），
∴PE=n，BE=1，
由勾股定理得：PB²=PE²+BE²=n²+1，
∵S_△ABP=S_△BPC，
∴$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（n²+1），
3n-1=n²+1，
n²-3n+2=0，
n=1或2，
∵D（2，$\frac{1}{3}$），且P在点D的上方，
∴P（2，1）或（2，2），
①当n=1时，如图2，NC=PE=1，PN=BE=1，
∴C（3，2），
如图3，BF=CF=1，
∴C（4，1），
②当n=2时，如图2，同理得C（4，3），
如图3，得C（5，1），
综上所述，点C的坐标是（3，2）或（4，1）或（4，3）或（5，1）．

点评 本题是三角形的综合题，主要考查的是三角形的全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式等知识，解（2）的关键是得出△BDP的边PD上的高长为1，解（3）的关键是判断出△CNP≌△BEP．