Question

【题目】数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：

小红的作法

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．

小明的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．

小刚的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．

请根据以上情境，解决下列问题

(1)小红的作法依据是 ．

(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．

证明：∵OM＝ON，OC＝OC， ，

∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依据)

(3)小刚的作法正确吗?请说明理由

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形三线合一定理；（2）CM=CN，边边边；（3）正确，证明见详解．

【解析】

（1）利用等腰三角形三线合一定理，即可得到结论成立；

（2）利用SSS，即可证明△OMC≌△ONC，补全条件即可；

（3）利用HL，即可证明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到结论成立．

解：（1）∵OM=ON，

∴△OMN是等腰三角形，

∵OP⊥MN，

∴OP是底边上的高，也是底边上的中线，也是∠MON的角平分线；

故答案为：等腰三角形三线合一定理；

（2）证明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，

∴△OMC≌△ONC（边边边）；

∴∠MOC=∠NOC，

∴OC平分∠AOB；

故答案为：CM=CN，边边边；

（3）小刚的作法正确，证明如下：

∵PM⊥OA，PN⊥OB，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

∵OM=ON，OP=OP，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB；

小刚的作法正确．