Question

【题目】如图，与均为等腰直角三角形，

（1）如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ，与的位置是 ．

（2）如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．

（3）若绕点旋转任意一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，猜想线段与的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）EF=FC，EF⊥FC；（2）EF=FC，EF⊥FC，证明见解析；（3）EF=FC，EF⊥FC，证明见解析；

【解析】

（1）根据已知得出△EFC是等腰直角三角形即可．
（2）延长线段CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC，利用SAS证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可得证；
（3）延长线段CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC，利用SAS证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可得证；．

解：（1）∵与均为等腰直角三角形，

∴，

∴BE=EC

∵为线段的中点，

；

故答案为：EF=FC，EF⊥FC
（2）存在EF=FC，EF⊥FC，证明如下：

延长CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC

∵为线段的中点，

∴DF=FB，

∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∴∠MDC=∠ACB=90°

∴∠MDE=∠EAC=135°，

∵ED=EA，

∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC；

（3）EF=FC，EF⊥FC．

证明如下：

如图4，延长CF到M，使CF=FM，连接ME、EC，连接DM交延长交AE于G，交AC于H，

∵F为BD中点，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中

∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，span>HD∥BC，
∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，
∴∠MDE=∠EAC，

在△MDE和△CAE中

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC．