Question

【题目】已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．

（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．

①∠DAO的度数是 ；

②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；

（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．

①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，证明见试题解析；

（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．证明见试题解析；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，证明见试题解析。

【解析】

试题分析：（1）①根据周角的定义得到∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，由于将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根据四边形的内角和即可得到结论；②如图1，连接OD，由于△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根据全等三角形的性质得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根据勾股定理即可得到结论；

（2）①如图2，由旋转的性质得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四点B，O，O′，A′共线，即可得到结论，②根据①的结论即可得到结果．

试题解析：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，

∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，

故答案为：90°；

②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，

如图1，连接OD，

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，

∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，

∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，

∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，

在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；

（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．

如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，

∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，

∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．

∴△OC O′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，

∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，

∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，

∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；

②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，

∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，

∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，

∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．