Question

如图所示，AM为△ABC的中线，N在BC上，AB＞AC，AC²•BN=AB²•CN，求证：∠BAM=∠CAN．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据AC²•BN=AB²•CN可得

AB

BC

=

BN

AB

，进而可以证明∠ANB=∠ANC=∠BAC=90°，可证∠BAM=∠CAN=∠B．

解答：证明：∵AC²•BN=AB²•CN，
∴

AB2

AC2

=

BN

CN

，
∴

AB2

AC2

=

BN•BC

CN•BC

∴

AB2=BN•BC AC2=CN•BC

，
由AB²=BN•BC得：

AB

BC

=

BN

AB

，
又∵∠B=∠B 
∴△ABN∽△CBA
∴∠ANB=∠BAC，同理∠ANC=∠BAC，
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC，
∵∠ANB+∠ANC=180°
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC=90°，
即△ABC是直角三角形，AN⊥BC，
∴∠CAN=∠B，
∴∠B=∠BAM，
∴∠BAM=∠CAN．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等、对应边比例相等的性质．