Question

【题目】如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧 上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC．

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠BCA= ，⊙O的半径为 ，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OA，OB，如图所示：

∵AP为圆O的切线，

∴∠OAP=90°，

在△OAP和△OBP中，

，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OAP=∠OBP=90°，

则BP为圆O的切线；

（2）

解：延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，

∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，

∵∠AEB和∠ACB都对 ，

∴∠AEB=∠ACB，

∴tan∠AEB=tan∠ACB= ，

设AB=2x，则AE=3x，

在Rt△AEB中，BE=2 ，

根据勾股定理得：（2x）2+（3x）2=（2 ）2，

解得：x=2或x=﹣2（舍去），

则AB=2x=4．

【解析】（1）连接OA，OB，根据AP为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为圆O的切线；（2）延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在直角三角形AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长．
【考点精析】掌握垂径定理和解直角三角形是解答本题的根本，需要知道垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．