Question

【题目】如图，射线OA⊥射线OB，半径的动圆M与OB相切于点Q，( 圆M 与OA没有公共点 ), P是OA上的动点，且PM．设OP= ，OQ= ．

（1）求、所满足的关系式，并写出的取值范围 ；

（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的值；

（3）是否存在大于2的实数，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，使△MQO∽△MOP

【解析】试题分析：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，可以知道△MDP为直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；（2）若△MOP为等腰三角形，①若OM=MP，则有OD=PD，此时x=2×2=4；②若MP=OP时，x=3；③若OM=OP时，OM=4+y2，结合（1）求出x的值；（3）△MQO∽△OMP，因为∠Q=90°，∠OMP=90°，根据相似比及（1）的关系式求相应x的值．

试题解析：

(1)过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形，

∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，

∴PD=x2，

在Rt△MDP中,y2+(x2)2=32，

∴x24x+y2=5，

当如图所示情况时，OD=2；

当M与OA相切时，

可知OP=2+，

∴x取值范围为0x<2+；

(2)①若OM=MP，此时x=4，

②若MP=OP时，此时x=3，

③若OM=OP时，

∵OM=4+y2，

∴4+y2=x2，

∴，

解得x=；

(3)∵△QMO∽△MOP,此时∠OMP=90°,则，

∴，

∴4+y2=2x，

∴，

∴x=1+<2，

∴存在这样的实数x,并且x=1+.