Question

20．关于x的一元二次方程x²+2（m-1）x+m²=0的两个实数根为x₁，x₂，且x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，则m的取值范围是m≤$\frac{1}{2}$且m≠0．

Answer 1

分析 由一元二次方程x²+2（m-1）x+m²=0的两个实数根为x₁、x₂，利用根的判别式得出m为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的不等式，得到关于m的不等式组，求出不等式组的解即可得到m的取值范围．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²+2（m-1）x+m²=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（m-1），x₁x₂=m²，△=[2（m-1）]²-4m²=-8m+4，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-2（m-1）＞0}\\{{m}^{2}＞0}\\{-8m+2≥0}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{-2（m-1）＞0}\\{{m}^{2}＞0}\\{-8m+4≥0}\end{array}\right.$
解得：m≤$\frac{1}{2}$，且m≠0．
故答案为：m≤$\frac{1}{2}$且m≠0．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，方程有解，设方程的解为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．以及根的判别式运用．