Question

【题目】如图，在由每个边长为1的小正方形组成的9×9的网格中，点A，B，C都在格点上，点B绕点C逆时针旋转90°后的对应点为M，已知点B的坐标为(0，﹣2)（坐标轴与网格线平行）．

（1）直接写出：点C的坐标为　 　，点M的坐标为　 　；

（2）若平面内存在一点P，且P为△ACM的外心，直接写出点P的坐标是　 　；

（3）CN平分∠BCM交y轴于点N，则N点坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)

【解析】

（1）先建立直角坐标系，作出图形，构造全等三角形，即可得出结论；

（2）先判断出PA＝PC，再判断出点P的纵坐标为0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出结论；

（3）利用角平分线的特点构造出等腰三角形求出MF，进而求出直线CF的解析式，即可得出结论．

解：（1）建立如图1所示的平面坐标系，

由网格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），

∴AC⊥x轴，AC＝4，

∵B（0,-2），

∴AB＝3，

过点M作AC的垂线交AC于D，

∴∠CDM＝∠BAC＝90°，

∴∠DCM+CMD＝90°，

由旋转知，BC＝MC，∠BCM＝90°，

∴∠ACB+∠DCM＝90°，

∴∠ACB＝∠DMC，

∴△ABC≌△DCM（AAS），

∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，

∴AD＝AC+CD＝7．

∴M（1，5），

故答案为（﹣3，2），（1，5）；

（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），

设点P的坐标为（m，n）

∵点P是△ACM的外接圆的圆心，

∴点P到点A，C，M的距离相等，

由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），

∴n＝0，

∴P（m，0），

而PA＝ ，

∴m＝ ，

∴P（，0），

故答案为（，0）；

（3）如图3，

过点M作MF∥AC交CN于F，

∴∠CFM＝∠ACN，

∵CN是∠ACM的角平分线

∴∠ACN＝∠MCN，

∴∠MCN＝∠CFN，

∴MF＝CM，

而CM＝

∴MF＝5，

∴F（1,0），

∵C（﹣3,2），

设直线CF的解析式为 ，

将F,C代入得

解得

∴直线CF的解析式为

令x＝0，则y＝ ，

∴N（）．

故答案为（）．