Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；

（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；

（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)

【解析】

（1）由待定系数法将A（4，4），B（5，0）代入二次函数的解析式为y＝ax2+bx即可；

（2）求出OA的解析式，将P，C的纵坐标用含m的代数式表示出来，再表示出PC的长度，用函数的思想即可求出其最大值；

（3）存在，如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，则PM＝PN，证△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代数式分别表示出PM，PN的长度，解等式即可求出m的值，进一步写出点P的坐标；

（4）存在，当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，用含m的代数式表示出PC，OC的长，解方程即可求出m的值，进一步写出点P的坐标．

解：（1）∵二次函数的图象经过原点，

∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，

将A（4，4），B（5，0）代入，

得，

解得，a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x；

（2）设直线OA的解析式为y＝ax，

将A（4，4）代入，

得，a＝1，

∴yOA＝x，

∵PD⊥x轴，D（m，0），

∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），

∴PC＝﹣m2+5m﹣m

＝﹣m2+4m

＝﹣（m﹣2）2+4，

根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；

（3）存在，理由如下：

如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，

则PM＝PN，

∵点C在直线yOA＝x上，

∴△ODC是等腰直角三角形，

∴∠OCD＝∠PCN＝45°，

∴△PCN是等腰直角三角形，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，

∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，

∵P（m，﹣m2+5m），

∴PM＝m，

∵PM＝PN，

∴m＝﹣m2+2m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴P（4﹣，2+3）；

（4）存在，理由如下：

∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，

∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，

∴﹣m2+4m＝m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴当m＝4﹣时，﹣m2+5m＝2+3，

∴P（4﹣，2+3）．