Question

【题目】综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式

（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；

（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N

①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为　 　；

②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）CE+OE的最小值为5；（3）或4；存在，当PF=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（）；当PM=PF时，由菱形性质点D坐标为（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）；当MP=MF时，M、D关于直线y=﹣x+4对称，点D坐标为（﹣4，3）.

【解析】

（1）把已知点坐标代入解析式；

（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；

（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．

②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．

解：（1）将A（﹣4，0）代入y=x+c

∴c=4

将A（﹣4，0）和c=4代入y=﹣x2+bx+c

∴b=﹣3

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4

（2）做点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，连OC′，交直线l于点E．

连CE，此时CE+OE的值最小．

∵抛物线对称轴位置线x=﹣

∴CC′=3

由勾股定理OC′=5

∴CE+OE的最小值为5

（3）①当△CNP∽△AMP时，

∠CNP=90°，则NC关于抛物线对称轴对称

∴NC=NP=3

∴△CPN的面积为

当△CNP∽△MAP时

由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP=90°

过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为（a，0）

∴EP=EC=﹣a，

则N为（a，﹣a2﹣3a+4），MP=﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a）=﹣a2﹣a+4

∴P（a，﹣a2﹣a+4）

代入y=x+4

解得a=﹣2

∴△CPN的面积为4

故答案为：或4

②存在

设M坐标为（a，0）

则N为（a，﹣a2﹣3a+4）

则P点坐标为（a，）

把点P坐标代入y=﹣x+4

解得a1=﹣4（舍去），a2=﹣1

当PF=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（，）

当PM=PF时，由菱形性质点D坐标为（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）

当MP=MF时，M、D关于直线y=﹣x+4对称，点D坐标为（﹣4，3）