Question

如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE、AD与BC、BE与CD分别交于点O、点P、点Q．求证：
（1）AD=BE，AP=BQ；
（2）∠AOB=60°，OC平分∠AOE；
（3）PQ∥AE；
（4）△CPQ为等边三角形；
（5）

1

PQ

=

1

AC

+

1

CE

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据角的关系可以求得∠COE=60°，可解题；
（3）可求得∠PQD=∠ACD=120°，可解题；
（4）根据PQ∥AE，可求得∠CPQ=60°，可判定；
（5）根据PQ∥AE，可求得

QP

AC

=

DQ

CD

，可解题．

解答：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，∠CAP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，

∠BCQ=∠ACP AC=BC ∠CAP=∠CBQ

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ；
（2）∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，∠OBC=∠CAO
∴∠AOB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠AOB=60°，
∵∠EOD+∠EDO+∠OED=180°，
∴∠ODC+∠DEO=60°，
∴∠ODC=∠CEO，
同理∠OCD=∠DEO，
∴∠COE=60°，
∴OC平分∠AOE；
（3）∵∠PQD+∠DPQ+∠PDQ=180°，
∵∠DPQ=∠DEO，∠PDQ=∠CEO，
∴∠DPQ+∠PDQ=60°
∴∠PQD=∠ACD=120°，
∴PQ∥AE，
（4）∵PQ∥AE
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形；
（5）∵PQ∥AE，
∴

QP

AC

=

DQ

CD

=

CD-QC

CD

，
∵CD=CE，CQ=PQ，
∴

QP

AC

=

CE-PQ

CE

，

QP

AC

=1-

PQ

CE

，
两边同时除PQ得

1

PQ

=

1

AC

+

1

CE

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．