Question

如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）已知AD=4，DE=1，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠1=∠3，∠E=∠ADC=90°，即可证明△ACD≌△CBE；
（1）根据（1）中结论可得CE=AD，即可求得CD的值，易证△BEF∽△ADF，可得

BE

AD

=

EF

DF

，即可求得EF的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵AD⊥CE，∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
在△ACD和△CBE中，

∠ADC=∠E ∠3=∠1 AC=CB

，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴CE=AD=4，
∴CD=CE-DE=3，
∵∠E=∠ADF，∠BFE=∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴

BE

AD

=

EF

DF

，
设EF=x，则DF=1-x，
∴

3

4

=

x

1-x

，解得：x=

3

7

，
∴EF=

3

7

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ACD≌△CBE和△BEF∽△ADF是解题的关键．