Question

4．如图，点A是双曲线y=-$\frac{6}{x}$在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$上运动，则k的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出$\frac{AD}{EO}$=$\frac{DO}{EC}$=$\frac{AO}{CO}$，即可得出k=EC×EO=2．

解答 解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴$\frac{AD}{EO}$=$\frac{DO}{EC}$=$\frac{AO}{CO}$=tan60°=$\sqrt{3}$，则$\frac{{S}_{△ADO}}{{S}_{△COE}}$=3，
∵点A是双曲线y=-$\frac{6}{x}$在第二象限分支上的一个动点，
∴$\frac{1}{2}$|xy|=$\frac{1}{2}$AD•DO=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴$\frac{1}{2}$k=$\frac{1}{2}$EC×EO=1，
则EC×EO=2．
故选：B．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．