Question

16．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发1秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4cm，因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9；根据题意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图1所示：
由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+$\sqrt{13}$=7+$\sqrt{13}$（cm）；
（2）①如图2所示：
若P在边AC上时，CP=BC=3cm，
此时用的时间为$\frac{3}{2}$s，
△BCP为等腰三角形
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3所示：
若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，
P运动的路程为2+4=6cm，
所以用的时间为6÷2=3（s），
△BCP为等腰三角形；
ii）如图4所示：
若CP=BC=3cm，
过C作斜边AB的高，
根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=1.8cm，
∴BP=2PD=3.6cm，
所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm，
则用的时间为5.4÷2=2.7（s），
△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5所示：
若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，
P运动的路程为4+2.5=6.5cm
则所用的时间为6.5÷2=$\frac{13}{4}$（s），
△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为$\frac{3}{2}$s、2.7s、3s、$\frac{13}{4}$s时，△BCP为等腰三角形；
（3）①如图6所示：
当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+t=4-2t+3-t+5，
解得：t=2；
②如图7所示：
当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9，
∴AQ=5-（t-3）=8-t，CQ=3-（2t-9）=12-2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9，
解得：t=6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质；但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由四种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．