Question

15．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD），若∠D=115°，则∠B=65°．

Answer 1

分析 作CH⊥AD于H，如图，根据角平分线的性质定理得CH=CE，则利用“HL”可证明Rt△ACH≌Rt△ACE，得到AE=AH，再证明DH=BE，则可根据“SAS”证明∠CDH=∠B，而利用互补可计算出∠CDH的度数，从而得到∠B的度数．

解答 解：作CH⊥AD于H，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CH=CE，
在Rt△ACH和Rt△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CH=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACH≌Rt△ACE，
∴AE=AH，
∵AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD），
∴AH=$\frac{1}{2}$（AE+BE+AD），即AH=BE+AD，
∴DH=BE，
在△CHD和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CE}\\{∠CHD=∠CEB}\\{DH=BE}\end{array}\right.$，
∴∠CDH=∠B，
而∠CDH=180°-∠ADC=180°-115°=65°，
∴∠B=65°．
故答案为65°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．