Question

3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA，如图，先根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=120°，则∠AOP=60°，再计算出∠OCA的度数，接着利用AP=AC得到∠P=∠ACO=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠PAO=90°，于是利用切线的判定定理可判断PA是⊙O的切线；
（2）在Rt△AOP中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PO=2OA=6，PA=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_△PAO-S_扇形OAD进行计算即可．

解答 （1）证明：连接OA，如图，
∵∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACO=30°，
∴∠PAO=180°-30°-60°=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AOP中，PO=2OA=6，PA=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_△PAO-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$•3•3$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积公式．