Question

如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏．铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为25厘米，设铁环中心为O，铁环钩FM与铁环相切于点M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=0.6．
（1）求点M离地面AC的高度MB（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用,切线的性质

专题：

分析：（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα=

FN

FM

=0.6，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=0.6FM，再根据MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．

解答：解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，
HM=OM×sinα=15，
所以OH=20，
MB=HA=25-20=5，
所以铁环钩离地面的高度为5cm；

（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴

FN

FM

=sinα=0.6，
∴FN=0.6FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=11-3=8．
∵FM²=FN²+MN²，即FM²=（0.6FM）²+8²，
解得：FM=10，10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．