Question

已知正方形ABCD中点E，F分别在边AD，DC上，∠EBC=∠BEF，连接BD．下列结论：
①EB平分∠AEF；②∠EBD=

1

2

∠EFD；③AE+CF=EF；④S_△DFP≤

1

8

S_{正方形ABCD}；⑤DE²=DP•DB；
其中正确的有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据内错角相等即可证明∠AEB=∠EBC，即可证明①正确；
（2）根据外角等于不相邻两内角和、对顶角相等的性质即可证明②正确；
（3）作BM⊥EF，连接BF，可证明EA=EM，FC=FM，即可解题；
（4）根据EF=AE+CF，只有E、F均为AD，CD中点时，△DEF面积有最大值；
（5）只有在∠ABE=30°时，才能证明△EDP∽△BDE，结论才成立，即可证明本选项错误．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠BEF，
∴∠AEB=∠BEF，
∴EB平分∠AEF；①正确；
（2）∵∠AEF=∠ADC+∠EFD，
∴∠AEB=

1

2

（90°+∠EFD），
∴∠BEF=

1

2

（90°+∠EFD），
∵∠BEF+∠EBP=∠EFD+∠BDC，
∴

1

2

（90°+∠EFD）+∠EBP=∠EFD+45°，
∴∠EBP=

1

2

∠EFD；②正确；
（3）作BM⊥EF，连接BF，

∵EB平分∠AEF，
∴BA=BM，
在RT△AEB和RT△MEB中，

BA=BM BE=BE

，
∴RT△AEB和RT△MEB（HL）
∴EA=EM，
同理RT△BMF和RT△BCF，
∴FC=FM，
∴AE+CF=EF；③正确；
（4）∵EF=AE+CF，
∴只有在E、F均为AD，CD中点时，
△DEF面积有最大值S_△DFP=

1

2

EF•DP（此时DP⊥EF）=

1

8

S_{正方形ABCD}，∴④正确．
（5）只有△EDP∽△BDE时，DE²=DP•DB才成立，∴⑤不正确；
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．