Question

如图，∠ABE=∠BAD=90°，∠AED=2∠BED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4．
（1）求证：AE=AG；
（2）求AB的长度．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG=FG，再根据等边对等角可得∠D=∠DAG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AGE=2∠D，再根据两直线平行，内错角相等求出∠D=∠BED，然后求出∠AED=∠AGE，再利用等角对等边证明即可；
（2）利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠BAD=90°，点G是DF的中点，
∴AG=DG=FG，
∴∠D=∠DAG，
由三角形的外角性质得，∠AGE=∠D+∠DAG=2∠D，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴AD∥BE，
∴∠BED=∠D，
∵∠AED=2∠BED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG；

（2）解：∵AG=4，
∴AE=4，
由勾股定理得，AB=

AE2-BE2

=

42-12

=

15

．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．