Question

如图，已知：BD=CE=AF，DE=DF=EF，△DEF为正三角形．求证：△ABC为正三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：利用反证法，先假设△ABC中有两边相等，可证明△ABC为等边三角形，再假设△ABC中各边不相等，可证明假设不成立，即可△ABC为等边三角形．

解答：证明：如果AB．BC．AC有两条边AB．AC相等，则AE=BD，BF=AD，ED=DF；
在△AFD和△BDE中，

BE=AD   FD=DE   BD=AF

∴△AFD≌△BDE（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形；
若∠A、∠B、∠C各不相等，
则这个三角形中至少有一个角大于60°，一个角小于60°，
设∠A＞60°，∠B＜60°，
在BA及延长线上分别取点P、Q，使得∠DPE=60°，∠AQF=60°，
∵∠ADE+∠FDE+∠EDP=180°，
且△DPE的内角和为180°，
∴∠DPE=∠FDE=60°，
∴∠DEP=∠ADF，
在△QDF和△PED中，

∠DQF=∠EPD   QDF=∠DEP   DE=DF

∴△QDF≌△PED（AAS），
∴DQ=PE，
∵∠BPE为钝角，
∴BE＞PE，
∴AD=BE＞DQ显然不成立，
∴△ABC必为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；本题运用反证法证明是解题的关键．