Question

如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A点、B点，双曲线C：y=

3

x

（x＞0）．

（1）当k=-1，b=2

3

时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2

-3k

时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P₁、P₂，猜想并证明P₁A与P₂B之间的数量关系．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；
（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；
（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；
②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．

解答：解：（1）联立l与C得

y=-x+2 3 ① y= 3 x ②

，
①-②，得-x+2

3

-

3

x

=0
化简，得x²-2

3

x+3=0
解得x₁=x₂=

3

，y₁=y₂=

3

，
直线l与双曲线C公共点的坐标为（

3

，

3

）；
（2）证明：联立l与C得

y=kx+2 -3k ① y= 3 x ②

，
①-②，得
kx+2

-3k

-

3

x

=0，
化简，得
kx²+2

-3k

x-3=0，
a=k，b=2

-3k

，c=-3，
△=b²-4ac=（2

-3k

）²-4k×（-3）=12k-12k=0，
∴kx²+2

-3k

x-3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；
x=-

-3k

k

，y=

-3k

，
即P（-

-3k

k

，

-3k

）
（3）①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=-

b

k

，即B（-

b

k

，0），
P（-

-3k

k

，

-3k

），
PA=

( - -3k k )2+( -3 )2

，
PB=

( -3k k )2+( -3k )2

，
∴PA=PB．
②P₁A=P₂B，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=-

b

k

，即B（-

b

k

，0），
联立l与C得

y=kx+b① y= 3 x ②

，
①-②，得
kx+b-

3

x

=0，
化简，得
kx²+bx-3=0，
解得P₁（

-b+ b2+12k

2k

，

b+ b2+12b

2

）P₂（

-b- b2+12b

2k

，

b- b2+12k

2

）
P₁A²=（

-b+ b2+12k

2k

）²+（

-b+ b2+12b

2

）²，P₂B²=（

b- b2+12k

2k

）²+（

b- b2+12k

2

）²，
∴P₁A²=P₂B²，
∴P₁A=P₂B．

点评：本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了代入消元法解方程组；（2）利用了一元二次方程的根的判别式；（3）利用了函数与自变量的关系，两点间距离公式．