Question

如图，分别以等腰直角三角形ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆．
（1）设AD=4，求三个半圆的面积之和．
（2）设AD=m，用含有m的式子表示两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和；
（3）两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt△ACD的面积．
（4）变式：如果△ACD只是一般直角三角形，那么（3）中的结论还成立吗？

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：（1）直接利用圆的面积公式求出即可；
（2）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后确定两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt△ACD的面积，从而求出；
（3）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后确定出S_半圆ACD=S_半圆AEC+S_半圆CFD，从而得证；
（4）由勾股定理可得AC²+CD²=AD²，然后确定出S_半圆ACD=S_半圆AEC+S_半圆CFD，从而得证．

解答：解：（1）∵AD=4，∠ACD=90°，
∴AC=BC=2

2

，
∴三个半圆的面积之和为：

1

2

π×2²+

1

2

π×（

2

）²+

1

2

π×（

2

）²=4π；

（2）∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S_半圆ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圆AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圆CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圆ACD=S_半圆AEC+S_半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积
∵AD=m，则BC=

1

2

m，
∴阴影部分面积为：

1

2

×m×

m

2

=

m2

4

；

（3）证明：∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S_半圆ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圆AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圆CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圆ACD=S_半圆AEC+S_半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积．

（4）如果△ACD只是一般直角三角形，那么（3）中的结论还成立．
理由：∵△ACD是直角三角形，
∴AC²+CD²=AD²，
∵以Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S_半圆ACD=

1

2

π•

1

4

AD²，S_半圆AEC=

1

2

π•

1

4

AC²，S_半圆CFD=

1

2

π•

1

4

CD²，
∴S_半圆ACD=S_半圆AEC+S_半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和圆的面积求法等知识，是基础题，熟记定理是解题的关键．