Question

如图，点E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动点（点E不与B、C重合），以AE为边作等边△AEF，求△AEF面积的最小值．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,垂线段最短

专题：

分析：当AE⊥BC时，AE最短，△AEF面积最小，先求出AE和△ABC的面积，再根据△AEF∽△ABC，得出面积比等于相似比的平方即可求出△AEF面积的最小值．

解答：解：当AE⊥BC时，AE最短，△AEF面积最小；
∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，AB=4，
∴∠B=60°，AE=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∵△AEF是等边三角形，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=(

AE

AB

)2=(

2 3

4

)2=

3

4

，
即

S△AEF

4 3

=

3

4

，
∴S△AEF=3

3

；
即△AEF的最小值为3

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质和垂线段最短；由题意得出当AE⊥BC时，AE最短，△AEF面积最小是解题的关键．