Question

如图，已知在?ABCD中，对角线BD⊥AB，∠A=30°，DE平分∠ADC交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：AD=AE；
（2）设AD=12，连接AC交BD于点O，画出图形，并求AC的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠CDE=∠AED，利用等量代换可得∠ADE=∠AED，根据等角对等边可得AD=AE；
（2）首先利用勾股定理计算BD=6，再根据勾股定理可得AB长，然后再根据平行四边形的性质可得DN=BN，AN=CN，再利用勾股定理可得AN的值，进而可得答案．

解答：（1）证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；

（2）解：∵∠A=30°，AD=12，
∴BD=6，
∴AB=

122-62

=6

3

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN=BN，AN=CN，
∴BN=3，
∴AN=

AB2+BN2

=3

17

，
∴AC=6

17

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．