【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合) .以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图①,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF;②CF=BCCD.
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其他条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
【答案】
(1)
证明:①如图①,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAF=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
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∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠BCF=90°,
即BD⊥CF.
②由①得△BAD≌△CAF,
∴BD=CF
∵BD+CD=BC,
∴CF=BC-CD.
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(2)
解:CF-CD=BC.理由如下:
如图②,
∵∠BAD=90°+∠CAD,
∠CAF=90°+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
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∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF,
∵BD=BC+CD,
∴CF-CD=BC.
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(3)
解:①CD-CF=BC;
②等腰三角形.理由如下:
∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴AB=AC,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-∠BAF,∠CAF=90°-∠BAF,
∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
|
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABD=135°,
∴∠ACF=∠ABD=135°,
∴∠FCD=90°,
∴△FCD是直角三角形.
又∵OD=OF,
∴OC=OD=OA,
∴△AOC是等腰三角形.
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【解析】(1),(2)和(3)中每题都要运用“SAS”证明△BAD≌△CAF,然后得到边的关系和角的关系;(3)的②还要运用到直角三角形中斜边上的中线是斜边长的一半.
【考点精析】利用等腰直角三角形和直角三角形斜边上的中线对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为( )
A. B. C. D.
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【题目】作图题:如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△AOB的三个顶点A,O,B都在格点上.
(1)画出△AOB关于点O成中心对称的三角形;
(2)画出△AOB绕点O逆时针旋转90后得到的三角形.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
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【题目】某种肥皂原零售价每块2元,凡购买2块以上(包括2块),商场推出两种优惠销售办法.第一种:一块肥皂按原价,其余按原价的七折销售;第二种:全部按原价的八折销售.你在购买相同数量肥皂的情况下,要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多,最少需要买( )块肥皂.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【题目】如图1所示的是一种置于桌面上的简易台灯,将其结构简化成图2,灯杆AB与CD交于点O(点O固定),灯罩连杆CE始终保持与AB平行,灯罩下方FG处于水平位置,测得OC=20cm,∠COB=70°,∠F=40°,EF=EG,点G到OB的距离为12cm.
(1)求∠CEG的度数.
(2)求灯罩的宽度(FG的长;结果精确到0.1cm,可用科学计算器).
(参考数据:sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,sin70°≈0.940,cos70°≈0.342)
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