【题目】如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)90°;(3)AP=CE.
【解析】
试题分析:(1)先证出△ABP≌△CBP,得到PA=PC,由PA=PE,得到PC=PE;
(2)由△ABP≌△CBP,得到∠BAP=∠BCP,进而得到∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;
(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.
试题解析:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,∵AB=BC,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,∵AB=BC,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.
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【题目】如图1,我们在2016年1月的日历中标出一个十字星,并计算它的“十字差”(将十字星左右两数,上下两数分别相乘再将所得的积作差,称为该十字星的“十字差”).该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48,再选择其它位置的十字星,可以发现“十字差”仍为48.
(1)如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的“十字差”,可以发现相应的“十字差”也是一个定值,则这个定值为 .
(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3),继续前面的探究,可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值,请用k表示出这个定值,并证明你的结论.
(3)如图3,将正整数依次填入三角形的数表中,探究不同十字星的“十字差”,若某个十字星中心的数在第32行,且其相应的“十字差”为2015,则这个十字星中心的数为(直接写出结果).
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合) .以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图①,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF;②CF=BCCD.
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其他条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
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【题目】已知,如图四边形AOBC为正方形,点C的坐标为(4 ,0),动点P沿着折线OACB的方向以1个单位每秒的速度匀速运动,同时点Q沿着折线OBCA的方向匀速运动,速度是2个单位长度每秒,运动时间为t秒,当他们相遇时同时停止运动.
(1)点A的坐标是正方形AOBC的面积是 .
(2)将正方形绕点O顺时针旋转45°,求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积.
(3)运动时间t为多少秒时,以A、P、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形?
(4)是否存在这样的t值,使△OPQ成为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
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【题目】如图所示,三角形ABC(记作△ABC)在方格中,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,三个顶点的坐标分别是A(﹣2,1),B(﹣3,﹣2),C(1,﹣2),先将△ABC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到A1B1C1 .
(1)在图中画出△A1B1C1;
(2)点A1 , B1 , C1的坐标分别为、、;
(3)若y轴有一点P,使△PBC与△ABC面积相等,求出P点的坐标.
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