Question

【题目】已知，如图四边形AOBC为正方形，点C的坐标为(4 ，0)，动点P沿着折线OACB的方向以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点Q沿着折线OBCA的方向匀速运动，速度是2个单位长度每秒，运动时间为t秒，当他们相遇时同时停止运动．

（1）点A的坐标是正方形AOBC的面积是 ．
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积．
（3）运动时间t为多少秒时，以A、P、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？
（4）是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（2,2）；16
（2）

由OC=4得，OA=OB=OC=AC=4，

旋转后可得OA′=OA=4，
∴A′C=4-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4-4，
∴S四边形OA’EB=S△OBC-S△A’EC=16-16．

（3）

解：当P在OA，Q在OB时，不存在；

当P在OA，Q在BC时，当AP=BQ时，又因为AO//BC，则四边形APBQ为平行四边形，如图，

AP=4-t,BQ =2t-4，

则4-t=2t-4,

解得t=.

即当t=时，四边形APBQ是平行四边形.

（4）

存在，当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，

∴t=2（4-2t），
∴t=.

【解析】（1）在正方形OACB中，连接AB，交OC于D点，则OD=AD=OC=2,即A（2，2）.
正方形的面积为：=16.
所以答案是：（2，2）；16.
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的判定和平行四边形的判定，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形即可以解答此题．