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【题目】如图1,我们在2016年1月的日历中标出一个十字星,并计算它的“十字差”(将十字星左右两数,上下两数分别相乘再将所得的积作差,称为该十字星的“十字差”).该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48,再选择其它位置的十字星,可以发现“十字差”仍为48.
(1)如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的“十字差”,可以发现相应的“十字差”也是一个定值,则这个定值为
(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3),继续前面的探究,可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值,请用k表示出这个定值,并证明你的结论.
(3)如图3,将正整数依次填入三角形的数表中,探究不同十字星的“十字差”,若某个十字星中心的数在第32行,且其相应的“十字差”为2015,则这个十字星中心的数为(直接写出结果).

【答案】
(1)24
(2)解:定值为k2﹣1=(k+1)(k﹣1);

证明:设十字星中心的数为x,则十字星左右两数分别为x﹣1,x+1,上下两数分别为x﹣k,x+k(k≥3),

十字差为(x﹣1)(x+1)﹣(x﹣k)(x+k)=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1,

故这个定值为k2﹣1=(k+1)(k﹣1)


(3)976
【解析】解:(1)根据题意得:6×8﹣2×12=48﹣24=24;故答案为:24;(3)设正中间的数为a,则上下两个数为a﹣62,a+64,左右两个数为a﹣1,a+1,根据题意得:(a﹣1)(a+1)﹣(a﹣62)(a+64)=2015,解得:a=976. 故答案为:976.
(1)根据题意求出相应的“十字差”,即可确定出所求定值;(2)定值为k2﹣1=(k+1)(k﹣1),理由为:设十字星中心的数为x,表示出十字星左右两数,上下两数,进而表示出十字差,化简即可得证;(3)设正中间的数为a,则上下两个数为a﹣62,a+64,左右两个数为a﹣1,a+1,根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可.

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