Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．

(1)求这条抛物线的表达式．

(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．

①求t的取值范围．

②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；

③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②t的值为或，③当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．

【解析】

（1）求出对称轴，再求出y=与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式即可；

（2）①先求出A、B、C的坐标，写出OB、OC的长度，再求出BC的长度，由运动速度即可求出t的取值范围；

②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，分别证△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；

③如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，证△BHQ∽△BOC，求出HQ的长，由公式S四边形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四边形ACQP的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．

解：（1）∵在抛物线中，当x＝﹣1和x＝3时，y值相等，

∴对称轴为x＝1，

∵y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M，

∴顶点M（1，），另一交点为（6，6），

∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，

将点（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，

得6＝a（6﹣1）2，

∴a＝，

∴抛物线的解析式为

（2）①在中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；当x＝0时，y＝﹣3，

∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），

∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，

∴BC＝＝5，

∴，

∵＜4，

∴

②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°两种情况，

当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，

∴PQ∥OC，

∴△BPQ∽△BOC，

∴，即，

∴t＝；

当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，

∴△BPQ∽△BCO，

∴，即，

∴t＝，

综上所述，t的值为或；

③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H，

则∠BHQ＝∠BOC＝90°，

∴HQ∥OC，

∴△BHQ∽△BOC，

∴，即，

∴HQ＝，

∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ

＝×6×3﹣（4﹣t）×t

＝（t﹣2）2+，

∵＞0，

∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．