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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,APQ的周长为2,求∠PCQ.

为了解决这个问题,我们在正方形外以BCAB延长线为边作CBE,使得CBE≌△CDQ(如图)

(1)CBE可以看成由CDQ怎样运动变化得到的?

(2)图中PQPE的长度有什么关系?为什么?

(3)请用(2)的结论证明PCQ≌△PCE;

(4)根据以上三个问题的启发,求∠PCQ的度数.

(5)对于题目中的点Q,若Q恰好是AD的中点,求BP的长.

【答案】(1)△CBE可以看成是由△CDQ沿逆时针旋转90°得到的;(2)PE=PQ;(3)证明见解析;(4)45°;(5)

【解析】

(1)CBE可以看成是由CDQ旋转得到的;

(2)由旋转可知CEB≌△CDQ,根据全等三角形的对应边相等得到DQ=BE,由正方形的变成为1易知AQ=1-DQ=1-BE,AP=1-BP,又有APQ的周长为2,可求出PQ=PE;

(3)由(2)得到的PQ=PE,由CEB≌△CDQ得到一对对应边相等,再由CP为公共边,根据SSS判定PCQ≌△PCE;

(4)利用PCQ≌△PCE得出∠PCQ=PCE,又有∠BCE=QCD,得出∠PCQ的度数是∠DCB度数的一半,由∠DCB为直角即可求出∠PCQ的度数;

(5)由QAD的中点,根据正方形的边长为1,求出DQAQ的长,又CEB≌△CDQ,得到BE=DQ,从而求出BE的长,再由PCQ≌△PCE得到PE=PQ,设PBx,用PB+BE表示出PE即为PQ的长,且表示出AP的长,在直角三角形APQ中,根据勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为BP的长.

1)CBE可以看成是由CDQ沿逆时针旋转90°得到的;

(2)∵△CBE≌△CDQ,正方形的边长为1,

AQ=1﹣DQ=1﹣BE,AP=1﹣BP,

又∵AP+AQ+PQ=2,

1﹣BE+1﹣BP+PQ=2,即2﹣PE+PQ=2,

PE=PQ;

(3)∵△CBE≌△CDQ,

QC=EC,

PCQPCE中,

∴△PCQ≌△PCE(SSS);

(4)∵△PCQ≌△PCE,

∴∠PCQ=PCE,

又∵∠BCE=QCD,

∴∠QCD+PCB=PCQ,

又∵∠DCB=90°,

∴∠PCQ=×90°=45°;

(5)若QAD中点,得到DQ=AQ=AD=

∵△CBE≌△CDQ,BE=DQ=

BP=x,则AP=1﹣x,

∵△PCQ≌△PCE,QP=PE=PB+BE=x+

RtAPQ中,根据勾股定理得:PQ2=AQ2+AP2

即(x+2=(2+(1﹣x)2

化简得:x2+x+=+1﹣2x+x2,即3x=1,解得x=

BP的长为

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】在菱形ABCD中,记∠ABC=∠α(0°<∠α<90°),菱形的面积记作S,菱形的周长记作C,若AD=2,则(  )

A. C∠α的大小有关

B. ∠α=45°时,S=

C. A,B,C,D四个点可以在同一个圆上

D. S∠α的增大而增大

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】1是某市200945日至14日每天最低气温的折线统计图.

(1)图2是该市200745日至14日每天最低气温的频数分布直方图,根据图1提供的信息,补全图2中频数分布直方图;

(2)在这10天中,最低气温的众数是____,中位数是____,方差是_____

(3)请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知动点A在函数y=(x>0)的图象上,ABx轴于点B,ACy轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC,直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q,当QE:DP=9:25时,图中的阴影部分的面积等于___

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】一不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色不同外其余都相同,搅匀后,

(1)从中一次性摸出两只球,用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球的所有结果并求其概率.

(2)向袋子中放入若干个红球(与原红球相同),搅匀后,从中任取一个球是红球的概率为,求放入红球的个数.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,点E,F,G分别是等边三角形ABC三边AB,BC,CA上的动点,且始终保持AE=BF=CG,设EFG的面积为y,AE的长为x,y关于x的函数图象大致为图2所示,则等边三角形ABC的边长为___

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,△ABC和△ADE中,AB=ACAD=AE,且∠BAC=DAE


1)求证:BD=CE
2)若点MN分别是BDCE的中点,如图2,连接AMANMN,若AC=6AE=4,∠EAC=60°,求AN的长.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,点A是反比例函数y=图象上的任意一点,过点A作AB∥x轴,AC∥y轴,分别交反比例函数y=的图象于点B,C,连接BC,E是BC上一点,连接并延长AE交y轴于点D,连接CD,则SDEC﹣SBEA=_________

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.

(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示);

(2)联结AC、BC,若△ABC的面积为6,求此抛物线的表达式;

(3)在第(2)小题的条件下,点Q为x轴正半轴上一点,点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称,当△CGF为直角三角形时,求点Q的坐标.

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同步练习册答案
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