Question

10．如图，在矩形ABCD中，△CEF为等腰直角三角形．
（1）求证：AE=AB；
（2）若矩形ABCD的周长为16cm，DE=2cm，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由△CEF为等腰直角三角形，得出CE=EF，∠CED+∠FEA=90°，推出∠FEA=∠DCE，由AAS证得△CDE≌△AEF，得出CD=AE，即可得出结论；
（2）设CD=x，利用矩形的性质可得x+x+2=$\frac{1}{2}$×16，解得CD的长，根据勾股定理求得CE²，即可求得△DEF的面积．

解答 （1）证明：∵△CEF为等腰三角形，
∴CE=EF，∠CED+∠FEA=90°，
又∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠FEA=∠DCE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB，
在△CDE和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEA=∠DCE}\\{∠A=∠D}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△AEF（AAS）．
∴CD=AE，
∴AE=AB；
（2）解：设CD=x，根据题意得：CD+AD=x+x+2=$\frac{1}{2}$×16，
解得x=3，即CD=3，
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=3²+2²=13，
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$CE²=$\frac{1}{2}$×13=6.5；
∴△DEF的面积为6.5．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．