Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．

（1）填空：点C的坐标为 点D的坐标为 ;
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】
（1）（0，3）；（1，4）
（2）

∵在三角形中两边之差小于第三边，

∴延长DC交x轴于点P，

设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，

∴直线DC的解析式为y=x+3，

将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如图1，点P（﹣3，0）即为所求；

（3）

过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，

由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，

由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，当y=3时，x=，

∴E点坐标为（，3），

设直线P′C′与直线BC交于点M，

∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），

∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，

联立，解得，

∴点M坐标为（，），

∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），

∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，

分两种情况讨论：

①当0＜t＜时，如图2，B′C′与BD交于点N，

联立，解得，

∴N点坐标为（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，

其对称轴为t=，可知当0＜t＜时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；

②当≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，

联立，解得，

∴N点坐标为（，），

S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；

显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=

综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为．

【解析】（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；
（2）求|PD﹣PC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P．因为|PD﹣PC|小于或等于第三边CD，所以当|PC﹣PD|等于CD时，|PC﹣PD|的值最大．因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；
（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出P′C′与BC的交点M的坐标，分点C′在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．