Question

12．如图，BC是⊙O的直径，点A、E均在⊙0上，且位于直径BC的两侧，$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，AD⊥BC于点D，BE交AD的延长线于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
（2）小明发现：点O是△ABF的垂心，你认为小明的发现正确吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理和等角的余角相等即可证得；
（2）连接AO，并延长交BE于G，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠ACB=∠OAC，∠ABE=∠ACB，进而即可证得∠ABE+∠BAG=90°，证得∠AGB=90°，即可证得点O是△ABF的垂心．

解答 解：（1）相等，
理由；∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD；
（2）连接AO，并延长交BE于G，如图，
∵OA=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠OAC+∠BAG=90°，
∴ACB+∠BAG=90°，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=90°，
即AG⊥BF，
∵BD⊥AF，且BD经过O点，AG经过O点，
∴点O是△ABF的垂心．

点评 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等角的余角相等等，熟练掌握性质定理是解题的关键．