Question

15．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．
（2）若∠A=100°，则∠BOC=120°，若∠A=120°，则∠BOC=150°
（3）由（1）（2）你发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
（2）先根据角平分线的定义得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A，则∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，然后把∠A的度数代入计算即可；
（3）根据（1）（2）的结论即可得到结果．

解答 解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）∵∠A=60°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴∠1+∠4=60°，
∴∠BOC=120°．

（2）若∠A=100°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=80°，
∴∠1+∠4=40°，
∴∠BOC=140°．
若∠A=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠4=30°，
∴∠BOC=150°；
故答案为：120°，150°；

（3）规律是∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，当∠A的度数发生变化后，结论仍成立．

点评 本题考查了三角形内角和定理．第一，第二问是解决第三问发现规律的基础，因而总结前两问中的基本解题思路是解题的关键．