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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2﹣10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.

(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:解方程x2﹣10x+16=0得x1=2,x2=8

∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC

∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)

又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0)


(2)

解:∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

∴c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,

得:

解得

∴所求抛物线的表达式为y=﹣ x2 x+8


(3)

解:依题意,AE=m,则BE=8﹣m,

∵OA=6,OC=8,

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

= ,即 =

∴EF=

过点F作FG⊥AB,垂足为G,

则sin∠FEG=sin∠CAB=

=

∴FG= =8﹣m

∴S=SBCE﹣SBFE

= (8﹣m)×8﹣ (8﹣m)(8﹣m)

= (8﹣m)(8﹣8+m)

= (8﹣m)m

=﹣ m2+4m

自变量m的取值范围是0<m<8


(4)

解:存在.

理由:∵S=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣4)2+8且﹣ <0,

∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8

∵m=4,

∴点E的坐标为(﹣2,0)

∴△BCE为等腰三角形.


【解析】(1)先解一元二次方程,得到线段OB、OC的长,也就得到了点B、C两点坐标,根据抛物线的对称性可得点A坐标;(2)把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;(3)易得SEFF=SBCE﹣SBFE , 只需利用平行得到三角形相似,求得EF长,进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高;(4)利用二次函数求出最值,进而求得点E坐标.OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形.

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(解决问题)

根据以上发现,计算:的结果为   

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