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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式;

(2)设抛物线的对称轴为l,lx轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)如图2,连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S.

①求S关于t的函数表达式;

②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)t=2时,点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由见解析;(3)y=﹣x+3P点到直线BC的距离的最大值为,此时点P的坐标为().

【解析】

1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;

(2)连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2t≠2两种情况考虑:当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标;当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M;

(3)①过点PPFy轴,交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式;

②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论.

1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,

,解得:

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;

(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,

∵抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,

∴抛物线的对称轴为直线x=1,

t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,

∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),

∴点M的坐标为(1,6);

t≠2时,不存在,理由如下:

若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,

∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2,

又∵t≠2,

∴不存在;

(3)①在图2中,过点PPFy轴,交BC于点F.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),

B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,

,解得:

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),

∴点F的坐标为(t,﹣t+3),

PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

S=PFOB=﹣t2+t=﹣(t﹣2+

②∵<0,

∴当t=时,S取最大值,最大值为

∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),

∴线段BC=

P点到直线BC的距离的最大值为

此时点P的坐标为().

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身高分组

频数

百分比

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5

10%

155≤x160

a

20%

160≤x165

15

30%

165≤x170

14

b

x≥170

6

12%

总计

100%

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(2)补全频数分布直方图;

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