【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式;
②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)当t=2时,点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由见解析;(3)y=﹣x+3;P点到直线BC的距离的最大值为,此时点P的坐标为(,).
【解析】
(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑:当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标;当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M;
(3)①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式;
②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论.
(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,
得,解得:,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
当t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,
∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),
∴点M的坐标为(1,6);
当t≠2时,不存在,理由如下:
若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,
∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2,
又∵t≠2,
∴不存在;
(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),
将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,
得,解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),
∴点F的坐标为(t,﹣t+3),
∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴S=PFOB=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+;
②∵﹣<0,
∴当t=时,S取最大值,最大值为.
∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),
∴线段BC=,
∴P点到直线BC的距离的最大值为,
此时点P的坐标为(,).
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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D是AC上一点,AE⊥BD,交BD的延长线于E,CF⊥BD于F.
(1)求证:CF=BE;
(2)若BD=2AE,求证:∠EAD=∠ABE.
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【题目】为了解某校九年级学生的身高情况,随机抽取部分学生的身高进行调查,利用所得数据绘成如图统计图表:
频数分布表
身高分组 | 频数 | 百分比 |
x<155 | 5 | 10% |
155≤x<160 | a | 20% |
160≤x<165 | 15 | 30% |
165≤x<170 | 14 | b |
x≥170 | 6 | 12% |
总计 | 100% |
(1)填空:a=____,b=____;
(2)补全频数分布直方图;
(3)该校九年级共有600名学生,估计身高不低于165cm的学生大约有多少人?
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【题目】甲、乙两车站相距,一列慢车从甲站开出,每小时行驶,一列快车从乙站开出,每小时行驶.(必须用方程解,方程以外的方法不计分)
(1)两车同时开出,相向而行,多少小时相遇?
(2)两车同时开出,同向而行,慢车在前,多少小时快车追上慢车?
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【题目】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图实线所示(单位:cm).小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米?如果设长方形的长为xcm,根据题意,可得方程为( )
A.2(x+10)=10×4+6×2B.2(x+10)=10×3+6×2
C.2x+10=10×4+6×2D.2(x+10)=10×2+6×2
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【题目】O为数轴的原点,点A、B在数轴上表示的数分别为a、b,且满足(a﹣20)2+|b+10|=0.
(1)写出a、b的值;
(2)P是A右侧数轴上的一点,M是AP的中点.设P表示的数为x,求点M、B之间的距离;
(3)若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动,同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动,当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动,直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止,求几秒后C、D两点相距5个单位长度?
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【题目】已知一圆形零件的标准直径是,超过规定直径长度的数量(毫米)记作正数,不足规定直径长度的数量(毫米)记作负数,检验员某次抽查了零件样品,检查的结果如下:
序号 | |||||
直径长度/ |
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求?
(2)如果规定误差的绝对值在之内是正品.误差的绝对值在之间是次品,误差的绝对值超过的是废品,那么上述五件样品中,哪些是正品,哪些是次品,哪些是废品?
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【题目】己知有理数在数轴上所对应的点分别是三点,且满足:①多项式是关于的二次三项式:②
请在图1的数轴上描出三点,并直接写出三数之间的大小关系(用“<”连接) ;
点为数轴上点右侧一点,且点到点的距离是到点距离的倍,求点在数轴上所对应的有理数;
点在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动,同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动(其中),若在整个运动的过程中,点到点的距离与点到点的距离差始终不变,求的值.
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