Question

如图，BM平分∠ABC，AM⊥BM，CN平分∠ACD，AN⊥CN．请问：MN与AB、BC、AC之间的关系，并证明．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：延长AB交BC于点F，延长AN交BC的延长线于点E，则可得MN为△AEF的中位线，且BF=AB，CE=AC，可得EF=BC+AC-AB，又MN=

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EF，可得到MN与AB、BC、AC之间的关系．

解答：解：MN=

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（AC+BC-AB），证明如下：
延长AB交BC于点F，延长AN交BC的延长线于点E，
∵BM平分∠ABC，AM⊥BM，
∴AB=BF，
同理可得AC=CE，
∴EF=FC+CE=BC-BF+CE=AC+BC-AB，
∵M为AF中点，N为AE中点，
∴MN为△AEF中位线，
∴MN=

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EF=

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（AC+BC-AB）．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定及三角形中位线定理，构造等腰三角形把MN与AB、BC、AC之间的关系转化为EF与MN与AB、BC、AC之间的关系是解题的关键．