Question

用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．

Answer 1

考点：反证法

专题：证明题

分析：首先从结论的反面出发进而假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．

解答：证明：假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，
设圆心为O，弦AB≠弦CD，
设AB中点为M，CD中点为N，
则OM⊥AB，ON⊥CD，且OM=ON，
根据弦长性质，AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
由勾股定理可知：OA²=AM²+OM²=

1

4

AB²+OM²，
OC²=CN²+ON²=

1

4

CD²+ON²
∵OA=OC=半径，
∴

1

4

AB²+OM²=

1

4

CD²+ON²
又∵OM=ON，则

1

4

AB²=

1

4

CD²，
即AB=CD，与假设AB≠CD矛盾，假设不成立，
故在同一个圆中，如果两条弦不等，它们的弦心距不等．

点评：此题主要考查了反证法以及勾股定理，根据题意结合勾股定理求出是解题关键．