Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接CE、DE．
（1）若∠BAC=40°，求∠DEC的度数；
（2）当四边形DCBE是平行四边形时，求∠BAC的度数；
（3）若△ADE的面积是△CBE的面积的

4

3

倍，则tan∠ACE的值是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）可以判定DE是AC的垂直平分线，根据平行线性质即可求得∠DEC度数；
（2）根据BC=2OE，可以求得AD=AE，可以证明RT△ADO≌RT△AEO，即可得∠BAC=∠DAC；
（3）根据△ADE的面积和△CBE的面积比可以求得OD和BC的长度关系比，即可求得AC和BC长度关系比，根据∠ACE=∠BAC即可解题．

解答：解：（1）∵E是AB中点，
∴AE=EC，
∵AD=CD，
∴DE是AC垂直平分线，
∴AC⊥DE，
∴DE∥BC，
∴∠BAC=∠ACE=40°，
∴∠DEC=∠BCE=50°；
（2）如图，

∵四边形DCBE是平行四边形，
∴DE=BC，
∵OE=

1

2

BC，
∴OD=

1

2

BC=OE，
∵AD=

OD2+OA2

，AE=

AO2+EO2

，
∴AD=AE，
∵在RT△ADO和RT△AEO中，

AO=AO AD=AE

，
∴RT△ADO≌RT△AEO，（HL）
∴∠BAC=∠DAC=60°；
（3）∵△ADE的面积是△CBE的面积的

4

3

倍，∴DE=

4

3

BC，
∵OE=

1

2

BC，
∴OD=

5

6

BC，
∴AC=

5

6

×

2

3

BC，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

3 3

5

．
∴tan∠ACE=

3 3

5

．

点评：本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ADO≌RT△AEO是解题的关键．