Question

13．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，过D作⊙O切线DE交AC于点E．
（1）求证：E为AC的中点；
（2）若AD=DB，OC=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，利用切线长定理可得DE=EC，然后根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可求解；
（2）DE是△ABC的中位线，则DE即可求得，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求解．

解答 解：（1）连接CD．
∵DE是圆的切线，EC是圆的切线，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠ACD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，即∠ADE+∠EDC=90°，∠ACD+∠A=90°．
∴∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
又∵DE=EC，
∴AE=EC，即E是AC的中点；
（2）∵AD=BD，AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2OC=6．
根据（1）可得DE=AE=EC，即AC=2DE=2×6=12．

点评 本题考查了圆周角定理和三角形的中位线定理，根据圆周角定理证得AE=EC=$\frac{1}{2}$AC是关键．