Question

【题目】如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论，

①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④，

其中正确结论的个数是（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；
③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．

∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；

∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=18075°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正确；
设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y，
∵∠FCD=30°，

∴即，

整理得：

解得：，

则，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，

∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°，

∴，

，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD

，

∴，故④正确；

故正确的有4个，
故选：A．