Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点．点的坐标为，抛物线经过，两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，是线段上一点，连接，若的值最小，求点坐标；

（3）如图2，在（2）的前提下，直线与直线的交点为，过点作轴的平行线交抛物线于点，若是抛物线上一点，是轴上一点，是否存在以，，，为顶点且为边的平行四边形，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D点坐标为(0，)；（3）存在，点M的坐标为(，)或(，)或(，)

【解析】

（1）先求得点A的坐标，再将A、C的坐标代入抛物线的表达式即可求解；

（2）过点D作DG⊥AB于G，利用∠OBA的正弦值求得DG=BD，则C、D、G三点共线时，CD+BD的值最小，即可求得D点坐标；

（3）先求得Q点坐标，分CQ为对角线、CM为对角线、CN为对角线三种情况讨论即可求解．

（1）令，则，

解得：，

∴点A的坐标为(4，0)，

∵抛物线经过，两点，

∴将A(4，0)、C(-1，0)的坐标代入得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）令，则，

∴点B的坐标为(0，3)，

∴OA=4，OB=3，

∴,

过点D作DG⊥AB于G，如图：

∵，

∴DG=BD，

当C、D、G三点共线时，CD+BD的值最小，

∵点C的坐标为(-1，0)，

∴OC=1，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴D点坐标为(0，)；

（3）设直线CD的解析式为：，

将点C(-1，0)的坐标代入得：，

解得：，

∴直线CD的解析式为：，

解方程组得：，

∴P点坐标为(，)；

∵PQ∥y轴，

当时，，

∴Q点坐标为(，)；

当CQ为对角线时，C、Q中点与M、N中点相同，

设M点的横坐标为，

则，

解得：，

当时，，

∴M点坐标为(，)；

当CM为对角线时，C、M中点与Q、N中点相同，

设M点的横坐标为，

则，

解得：，

当时，，

∴M点坐标为(，)；

当CN为对角线时，C、N中点与M、Q中点相同，

设M点的横坐标为，

则，

解得：，

当时，，

∴M点坐标为(，)；

综上可知，点M的坐标为(，)或(，)或(，)