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【题目】如图1,在矩形ABCD中,PCD边上一点(DP<CP),APB=90°.将ADP沿AP翻折得到AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点BBNMPDC于点N.

(1)求证:AD2=DPPC;

(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;

(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形PMBN是菱形,理由见解析;(3)

【解析】(1)过点PPGAB于点G,易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易证APG∽△PBG,所以PG2=AGGB,即AD2=DPPC;

(2)DPAB,所以∠DPA=PAM,由题意可知:∠DPA=APM,所以∠PAM=APM,由于∠APB-PAM=APB-APM,即∠ABP=MPB,从而可知PM=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形,所以四边形PMBN是菱形;

(3)由于,可设DP=k,AD=2k,由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,从而求出GB=PC=4k,AB=AG+GB=5k,由于CPAB,从而可证PCF∽△BAF,PCE∽△MAE,从而可得,从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,从而可得

1)过点PPGAB于点G,

∴易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,

AD=PG,DP=AG,GB=PC

∵∠APB=90°,

∴∠APG+GPB=GPB+PBG=90°,

∴∠APG=PBG,

∴△APG∽△PBG,

PG2=AGGB,

AD2=DPPC;

(2)DPAB,

∴∠DPA=PAM,

由题意可知:∠DPA=APM,

∴∠PAM=APM,

∵∠APB-PAM=APB-APM,

即∠ABP=MPB

AM=PM,PM=MB,

PM=MB,

又易证四边形PMBN是平行四边形,

∴四边形PMBN是菱形;

(3)由于

可设DP=k,AD=2k,

由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,

PG2=AGGB,

4k2=kGB,

GB=PC=4k,

AB=AG+GB=5k,

CPAB,

∴△PCF∽△BAF,

又易证:PCE∽△MAE,AM=AB=,

EF=AF-AE=AC-AC=AC,

.

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