【题目】如图,在菱形ABCD中,sinD=,E、F分别是AB,CD上的点,BC=5,AE=CF=2,点P是线段EF上一点,则当△BPC时直角三角形时,CP的长为____________
【答案】4或或
【解析】根据∠D的正弦求出以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4,然后以DC所在的直线为x轴,点F为坐标原点建立平面直角坐标系,根据菱形的对角线互相垂直平方可知点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°,点P与点E重合时∠BPC=90°;∠BCP=90°时写出点B、C的坐标,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线OE、BC的解析式,再求出CP的解析式,然后联立直线OE、CP的解析式求出点P的坐标,再利用勾股定理列式计算即可求出CP.
∵sin∠D=,菱形边AD=BC=5,
∴以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4
如图,以DC所在的直线为x轴,点F为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD,
∴点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°,
此时,CP=AC=×,
点P与点E重合时∠BPC=90°,
此时,CP=4;
∠BCP=90°时,由图可知,点B(5,4)、C(2,0),
易求直线OE的解析式为y=2x,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
则,
解得,
所以,直线BC的解析式为y=x-,
∵CP⊥BC,
∴设直线CP的解析式为y=-x+c,
将点C(2,0)代入得,-×2+c=0,
解得c=,
所以,直线CP的解析式为y=-x+,
联立,解得,
所以,点P的坐标为(,),
此时,CP=,
综上所述,当△BPC是直角三角形时,CP的长为或4或.
故答案为:或4或.
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【题目】如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B′DE,若B′D,B′E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是( )
A. △ADF≌△CGE
B. △B′FG的周长是一个定值
C. 四边形FOEC的面积是一个定值
D. 四边形OGB'F的面积是一个定值
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【题目】(列方程(组)及不等式解应用题)
水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米,每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过10立方米,则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%,每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米,缴水费27.6元;乙用户4月份用水12立方米,缴水费46.3元.(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数)
(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元?
(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元,该用户7月份最多可用水多少立方米?
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
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【题目】 计算:
(1)解方程组:;
(2)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
(3)已知:(x+1)(x+2)-______=6x+2,请计算______内应填写的式子.
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【题目】如图,已知:∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=6,AC=3,则BE=_____.
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【题目】概念学习:规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如,等,类比有理数的乘方,我们把记作,读作“2的圈3次方”,记作,读作“-3的圈4次方”,一般地,把个,记作,读作“的圈次方”
初步探究:直接写出计算结果: , ;
深入思考:我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(1)试一试:仿照下面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
例如
; = ;
(2)想一想:将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 ;
(3)算一算:
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【题目】综合与探究
“十一”黄金周期间,齐齐哈尔市动物园在7天假期中每天接待的人数变化如下表(正数表小比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数):
日期 | 10月1日 | 10月2日 | 10月3日 | 10月4日 | 10月5日 | 10月6日 | 10月7日 |
人数变化(万人) | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
(1)若9月份的最后一天9月30日的游客人数记为万人,请用含的代数式表示10月2日的游客人数;
(2)在(1)条件下,请直接写出七天内游客人数最多的是哪天,有多少万人?
(3)若9月30日的游客人数为2万人,门票每人100元,则黄金周期间齐齐哈尔市动物园票收入是多少万元?
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