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【题目】如图,在菱形ABCD中,sinD=,E、F分别是AB,CD上的点,BC=5,AE=CF=2,点P是线段EF上一点,则当BPC时直角三角形时,CP的长为____________

【答案】4或

【解析】根据∠D的正弦求出以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4,然后以DC所在的直线为x轴,点F为坐标原点建立平面直角坐标系,根据菱形的对角线互相垂直平方可知点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°,点P与点E重合时∠BPC=90°;BCP=90°时写出点B、C的坐标,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线OE、BC的解析式,再求出CP的解析式,然后联立直线OE、CP的解析式求出点P的坐标,再利用勾股定理列式计算即可求出CP.

sinD=,菱形边AD=BC=5,

∴以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4

如图,以DC所在的直线为x轴,点F为坐标原点建立平面直角坐标系,

∵菱形ABCD的对角线ACBD,

∴点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°,

此时,CP=AC=×

P与点E重合时∠BPC=90°,

此时,CP=4;

BCP=90°时,由图可知,点B(5,4)、C(2,0),

易求直线OE的解析式为y=2x,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

解得

所以,直线BC的解析式为y=x-

CPBC,

∴设直线CP的解析式为y=-x+c,

将点C(2,0)代入得,-×2+c=0,

解得c=

所以,直线CP的解析式为y=-x+

联立解得

所以,点P的坐标为(),

此时,CP=

综上所述,当BPC是直角三角形时,CP的长为4

故答案为:4

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A. ADF≌△CGE

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D. 四边形OGB'F的面积是一个定值

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日期

101

102

103

104

105

106

107

人数变化(万人)

+1.6

+0.8

+0.4

-0.4

-0.8

+0.2

-1.2

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