Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线FE交AC于点E．
（1）求证：DE=AE；
（2）若BC=3，DE=2，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）利用切线的性质结合圆周角定理得出∠A=∠2，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ADC∽△ACB，进而得出答案．

解答：（1）证明：连接DC，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
∴DE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠2，
∴AE=DE；

（2）解：由（1）得：AE=EC=ED=2，则AC=4，
∵BC=3，
∴AB=5，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

AD

4

=

4

5

，
解得：AD=

16

5

．

点评：本题主要考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△ADC∽△ACB是解题关键．