Question

【题目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）成立，理由详见解析；（3）不成立，S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．

【解析】

（1）证明DE是△ABC的中位线，得出DEBC，AC＝2CE，同理DF＝AC，证出四边形DECF是正方形，得出CE＝DF＝CF＝DE，得出S△DEF＝S△CEF＝2＝DEDF＝DF2，求出DF＝2，即可得出AC＝2CE＝4；

（2）连接CD，证明△CDE≌△BDF，得出S△CDE＝S△BDF，即可得出结论；

（3）不成立；连接CD，同（2）得出△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC．

解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形DECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D为AB边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，AC＝2CE，

同理：DF＝AC，

∵AC＝BC，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形，

∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DEDF＝DF2，

∴DF＝2，

∴CE＝2，

∴AC＝2CE＝4；

（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：

连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．

∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：

连接CD，如图3所示：

同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，

∴S△DEF＝S五边形DBFEC，

＝S△CFE+S△DBC，

＝S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．