[题目]如图1.直线分别与轴交于两点.过点的直线交轴负半轴于.且.(1)求直线的函数表达式:(2)如图2, 为轴上点右侧的一动点.以为直角顶点.为一腰在第一象限内作等腰直角三角形,连接并延长交轴于点.当点运动时.点的位置是否发生变化?如果不变请求出它的坐标:如果变化.请说明理由.(3)直线交于,交于点.交轴于,是否存在这样的直线,使得?若存在.求出的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于，且.

(1)求直线的函数表达式:

(2)如图2, 为轴上点右侧的一动点，以为直角顶点，为一腰在第一象限内作等腰直角三角形,连接并延长交轴于点.当点运动时，点的位置是否发生变化?如果不变请求出它的坐标:如果变化，请说明理由.

(3)直线交于,交于点，交轴于,是否存在这样的直线,使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）y=3x+6；（2）K点的位置不发生变化，K（0，-6）；（3）存在，k=

【解析】

（1）设BC的解析式是y=ax+c，由直线AB：y=-x-b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（2）不变化，过Q作QH⊥x轴于H，首先证明△BOP≌△PHQ，再分别证明△AHQ和△AOK为等腰直角三角形，问题得解；
（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，由题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，分别联立直线、直线AB和，求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值

解：（1）直线分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，
∴0=-6-b，
∴b=-6，
∴直线AB的解析式为：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵，
∴OC=OB=2，

∴C（-2，0），
设BC的解析式是y=ax+c，
∴

∴，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6；
（2）K点的位置不发生变化，K（0，-6）．如图2，过Q作QH⊥x轴于H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
在△BOP与△PHQ中，
，
∴△BOP≌△PHQ（AAS），
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又∵OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）；
（3）如图1，过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=SFBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
在△NFD与△MED中，

，
∴△NFD≌△MED（AAS），
∴FN=EM．
解方程组得E点的纵坐标yE=，
解方程组得F点的纵坐标yF=，
∵FN=-yF，ME=yE，
∴k=；
当k=时，存在直线，使得S△EBD=S△FBD．

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