Question

【题目】如图，将一张画有内切圆⊙P的直角三角形纸片AOB置于平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（4，0），⊙P与三角形各边相切的切点分别为D、E、F． 将直角三角形纸片绕其右下角的顶点依次按顺时针方向旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则直角三角形纸片旋转2018次后，它的内切圆圆心P的坐标为____．

Answer 1

【答案】(8075,1)

【解析】

旋转后的三角形内切圆的圆心分别为P1，P2，P3，过圆心作垂直于x轴，分别交x轴于点为E1，E2，E3，根据已知A(0,3)，B(4,0)，可求得AB长度和三角形内切圆的半径，依次求出OE1，OE2，OE3，OE4，OE5，OE6的长，找到规律，求得OE2018的长，即可求得直角三角形纸片旋转2018次后，它的内切圆圆心P的坐标．

如图所示，旋转后的三角形内切圆的圆心分别为P1，P2，P3，过圆心作垂直于x轴，分别交x轴于点为E1，E2，E3

设三角形内切圆的半径为r

∵△AOB是直角三角形，A(0,3)，B(4,0)

∴

∵⊙P是△AOB的内切圆

∴

即

∴r=1

∴BE=BF=OB-OE=4-1=3

∵△BO1A1是△AOB绕其B点按顺时针方向旋转得到

∴BE1=BF=3

∴OE1=4+3

∵A1E2=3-1=2

∴OE2=4+5+2

∴OE3=4+5+3+1

同理可推得OE4=4+5+3+4+3，OE5=4+5+3+4+5+2，OE6=4+5+3+4+5+3+1

2018÷3=6722

OE2018=672×(4+5+3)+(4+5+2)=8075

三角形在翻折后内切圆的纵坐标不变

∴P2018(8075,1)

故答案为：(8075,1)